练习

Let , all subsets so that or is countable, in the first case and in the second. show that is a probability space.

证明

只要证明 上的 -域且 上的测度。

首先有 可数,从而 。考虑 中的集合列 。若存在 使得 可数,那么 从而 的补集可数;若不存在上述 ,那么所有的 均为可数集合,从而它们的可数并也可数。所以 上的 -域。

上的可数个不交集合列。容易看出 中存在至多一个不可数集 ,那么若 存在则 ;否则

练习

Rescrl the definition of from example 1.1.5. show that , the borel subsets of .

证明

对于 的一组拓扑基

中的一个开集

从而 。对 中的拓扑基

从而

练习

A -field is said to be countably generated if there is a countable collection so that . Show that is countably generated.

证明

只要证明 可以由 生成,那么只要证明 可以被它生成,而对于 为实数区间,一定存在单调下降的有理数列 ,从而

那么 可以被生成。

练习

  1. Show that if are -algebras, then is an algebra.
  2. Give an example to show that need not be -algebra.

证明

  1. 上的 -代数,那么一定有 对每个 成立。对 , 一定有 。对 ,一定有
  2. 为由 生成的 -代数。那么这时有 。令 中所有偶数的集合,那么 对所有 成立,从而 。这时 中所有偶数的集合,但是其并不包含于 ,因为它是无限集,而后者的所有元素都是有限集。

练习

A set is said to have asymptotic density if

Let be the collection of sets for which the asymptotic density exists. Is a -algebra? an algebra?

证明

不是代数。令集合 中所有奇数的集合,那么显然有 具有渐进密度 。再构造具有渐进密度为 的集合 如下:

在所有形如 的区间上取所有奇数,在所有形如 的区间上取所有偶数。这时可以证明 不具有渐进密度,因为在前 个数上的密度小于 ,而在前 个数上的密度大于