练习
Let , all subsets so that or is countable, in the first case and in the second. show that is a probability space.
证明
只要证明
是
上的
-域且
是
上的测度。 首先有
可数,从而
。考虑
中的集合列
。若存在
使得
可数,那么
从而
的补集可数;若不存在上述
,那么所有的
均为可数集合,从而它们的可数并也可数。所以
是
上的
-域。 设
是
上的可数个不交集合列。容易看出
中存在至多一个不可数集
,那么若
存在则
;否则
。
练习
Rescrl the definition of from example 1.1.5. show that , the borel subsets of .
证明
对于
的一组拓扑基 中的一个开集 有 从而
。对
中的拓扑基 有 从而
。
练习
A -field is said to be countably generated if there is a countable collection so that . Show that is countably generated.
证明
只要证明
可以由
生成,那么只要证明
可以被它生成,而对于
为实数区间,一定存在单调下降的有理数列
,从而 那么
可以被生成。
练习
- Show that if are -algebras, then is an algebra.
- Give an example to show that need not be -algebra.
证明
练习
A set is said to have asymptotic density if
Let be the collection of sets for which the asymptotic density exists. Is a -algebra? an algebra?
证明
不是代数。令集合
为
中所有奇数的集合,那么显然有
具有渐进密度
。再构造具有渐进密度为
的集合
如下:
在所有形如
的区间上取所有奇数,在所有形如
的区间上取所有偶数。这时可以证明
不具有渐进密度,因为在前
个数上的密度小于
,而在前
个数上的密度大于
。