练习
Show that if generates , then generates
证明
因为 ，从而 。对于任意包含 的 -域 ， 是包含 的 -域，从而 ，那么 ，那么 ，那么 是包含 的最小 -域，从而 .
练习
Prove Theorem 1.3.6 when by checking
证明
因为 可以生成 ，所以只要证明 。容易看出 ，从而 是可测函数，那么 。
练习
Show that if is continuous and almost surely then almost surely.
证明
设 在 上满足，其中 。那么对 有 ，又知道 连续，从而 。那么 在 上成立。
练习
- Show that a continuous function from is a measurable map from to .
- Show that is the smallest -field that makes all the continuous functions measurable.
证明
只要证明 由上一问已经知道 考虑任意包含
的
-域
。取定
的一组生成元
，取其中的一个元素为
。那么可以构造连续函数 其中
表示距离函数。那么有
，从而
。那么命题得证。
练习
A function is said to be lower semicontinuous or l.s.c. if
and upper semicontinuous (u.s.c.) if is l.s.c. Show that is l.s.c. if and only if is closed for each and conclude that semicontinuous functions are measurable.
证明
先证必要性，假设
是下半连续的，只要对
，证
是开集。从中任取
，那么有 从而存在
的邻域
使得对
有 从而
是
的内点，那么
是开集。 再证充分性。假设对
，
是闭集，从而
是开集。
，考虑令
。对
，知道
附近存在邻域
使得
有
。令
即得到
。 从而上半连续函数都是可测函数，类似可以证明下半连续函数都是可测函数。
练习
Let be an arbitrary function and let
and
where
Show that is l.s.c. and is u.s.c. Let , , and conclude that the set of points at which is discontinuous is measurable.
follows from the fact that is.
证明
直接按定义验证得到
是上半连续函数而
是下半连续函数。接下来只要证明
的不连续点集就是
。 假设
是
的不连续点，那么存在
，存在收敛到
的点列
和
使得
。不妨设 对
，总能找到
使得 且 从而一定有 令
得到
。 再假设
是
的连续点，那么对
，存在
使得
有
，从而 令
即可知道
。
练习
A function is said to be simple if
where the are real numbers and . Show that the class of measurable functions is the smallest class containing the simple functions and closed under pointwise limits.
证明
设
是由从
到
上的部分函数构成的集合，满足所有的简单函数都属于
且对点态极限运算封闭。那么只要证明所有的
可测函数都在
中。对
为
可测函数，由
可以不妨设
。那么直接构造简单函数列 容易看出
点态收敛于
，从而
。
练习
Use the previous exercise to conclude that is measurable with respect to if and only if where is measurable.
证明
充分性是显然的，下证明必要性。设
在
上可测。那么由上一问题知道
可以写成
上的简单函数的点态极限，记为
。同样可以将
写为
。记 可以不妨设
两两不同。那么令 那么就有
。令
，则有
，且
为可测函数。
练习
To get a constructive proof of the last result, note that
for some and set for and show that as and .
证明
同上题。