练习

Show that if and then a.e..

证明

设 。若 ，那么由测度的连续性知道，存在足够大的 使得 。那么

从而矛盾。

练习

Let and

As ,

证明

不妨设 有限，否则命题化为 显然成立。那么有

从而命题得证。

练习

Let be an integrable function on and .

  1. Use the definition of the integral to conclude there is a simple function with

  2. Use Exercise A.2.1 to approximate the by finite unions of intervals to get a step function

    with , so that

  3. Round the corners of to get a continuous function so that

To make a continuous function replace each by a function that is on , on , and linear otherwise. If the are small enough and we let

then

证明

  1. 由于 不妨先证明 ，然后类似证明 。由积分的定义知道存在可测函数 ，使得 ， 有界，且支集测度有限，且

    对 ，再由积分定义知道存在非负简单函数 ，使得

    那么

    类似得到 满足

    令 直接得到结果。

  2. 记

    对每个 ，由测度近似定理知道存在有限个开区间 使得对 有 且

    那么就有

    重新排列就能够得到欲证命题。

练习

Prove the Riemann-Lebesgue lemma. If is integrable then

Hint: If is a step function, this is easy. Now use the previous exercise.

证明

先证明对于任意开区间 成立

考虑到 是以 为周期的周期函数，且在一个周期内的积分是 ，从而知道

其中 . 令 就得到积分趋近于 . 那么对任意的 step function ，记

那么就有

从而原命题在 为 step function 时成立。对于 为任意可积函数， 的情况，存在 step function 构成的函数列 使得

从而有