概率论 4.1. 条件期望

练习

Let and show that

When is the -field generated by a partition, this reduces to the usual Bayes’ formula

证明

那么

练习

If then

证明

对 有

对 ，令 ，那么一定有 对 成立，那么欲证不等式是 a.s. 成立的。

练习

证明

对 有

将其看作对 的二次函数，那么有判别式

直接得到结论。

练习

If with , then

证明

令 . 由 Young 不等式知道

对 成立，那么

而

那么 ，从而证明题目。

练习

Provide an example where

证明

对 和

考虑

练习

If and , then

Dropping the second term gives an inequality reflecting that larger subspaces yield closer projections (or statistiscrly, more information reduces mean square error).

证明

令 ，那么

那么只要证明

即可。恒等变换只要证明

即可，这是因为

练习

Let . Define . Show that

证明

练习

Let be i.i.d. with mean and variance , an independent positive integer-valued r.v. with , and . Show that

Interpretation: Consider special cases where or is constant.

证明

利用条件期望推导全概率公式，然后进行计算。

另一方面，

那么

练习

Show that if and are random variables with and , then almost surely.

证明

由

直接得到

然后结论是显然的。

练习

Under the assumption , prove that if has the same distribution as , then a.s. .

Hint: Show a.s. for .

证明

由于 同分布，从而 同分布。那么有 ，即 Jensen 不等式能够取等。那么 是 a.s. 成立的。在 上有

从而 a.e.，再结合同分布条件得到 a.e.. 类似得到 a.e. 在 上。这就是

代入 ，然后对所有 取 的交集得到结论。