练习

Suppose is a martingale w.r.t. and let . Then , and is a martingale w.r.t. .

证明

首先有 ，又对 有 ，从而有 ，那么 。

练习

Give an example of a submartingale such that is a supermartingale. Hint: does not have to be random.

证明

令 ，那么 在 上构成鞅。或者考虑 不构成鞅的情况，令 即可。

练习

Generalize part of Theorem 4.2.7 by showing that if and are submartingales w.r.t. , then is also a submartingale.

证明

那么 。剩余的部分是显然的。

练习

Let , , be a submartingale with . Let and suppose . Show that converges almost surely.

证明

TODO 这道题不会。

练习

Give an example of a martingale with a.s. Hint: Let , where are independent (but not identiscrly distributed) with .

证明

令 ，那么由 BC 引理知道 ，那么 a.s. .

练习

Let be nonnegative i.i.d. random variables with and . By Example 4.2.3, defines a martingale.

  1. Use Theorem 4.2.12 and an argument by contradiction to show a.s.
  2. Use the strong law of large numbers to conclude .

证明

  1. 首先存在 使得 。由于 ，可以取 使得 ，这时有

    最后一行是因为 从而 是基本列。那么一定有 ，那么 ，那么 。

  2. 首先有

    这里 Jensen 不等式不取等是因为 从而达不到取等条件。那么 ，可以应用广义强大数定律，有

    ，其中 。

练习

Suppose for all and . Show that converges to a finite limit.

证明

参考陈纪修《数学分析》无穷乘积一节。

练习

Let and be positive integrable processes adapted to . Suppose

with a.s. . Prove that converges a.s. to a finite limit by constructing a related supermartingale and applying Theorem 4.2.12.

证明

由 a.s. 知道 a.s. 有定义。定义

那么

假设 ，那么 ，从而 构成一个上鞅，再应用不等式就知道 且 .

练习

Suppose and are supermartingales w.r.t. , and is a stopping time such that . Define

where is the indicator function. Show that is a supermartingale.

证明

那么只要证明后面一项非正，而由题目条件 这是显然的。

练习

Dubins’ inequality. For every positive supermartingale , , the number of upcrossings of satisfies

To prove this, we let and for let

Let for and for

  1. Use the switching principle in the previous exercise and induction to show that is a supermartingale.
  2. Use and let to get Dubins’ inequality.

证明

对于第一问，用归纳法。首先 是上鞅。先假设 是上鞅，证明 是上鞅。 时，

由 知道 是上鞅。对于 ，有

由于 都是上鞅，且上一题不等式成立，由上一题知道 也是上鞅。

再对于 为上鞅的情况证明 是上鞅。有

再类似套用上一题不等式证明 也是上鞅。

然后用数学归纳法即可。

对于第二问，有

然后直接得到结果。