概率论 4.3. 例子

练习

Give an example of a martingale with and for . This example shows that it is not enough to have in Theorem 4.3.1.

证明

令 。若 ，则 ；若 ，则 . 可以由 Borel-Cantelli 引理得到，而 是因为 然后用 Borel-Cantelli 引理。 是因为 用 Borel-Cantelli 引理，把这部分排除掉剩余部分满足 a.s..

练习

(Assumes familiarity with finite state Markov chains.) Fine tune the example for the previous problem so that and , where is your favorite number in , i.e., you are asked to do this for one value of that you may choose. This example shows that a martingale can converge in distribution without converging a.s. (or in probability).

证明

TODO

练习

Let and be positive integrable and adapted to . Suppose , with a.s. . Prove that converges a.s. to a finite limit. Hint: Let , and stop your supermartingale at time .

证明

首先构造上鞅 . 由

知道 是上鞅。对 ，令停时

那么 ，那么

是上鞅，并且 a.s. 收敛，那么 在 上 a.e. 收敛。令 得到 在 上 a.s. 收敛，那么 a.s. 收敛。

练习

Let . Use the Borel-Cantelli lemmas to show that

证明

令 为互相独立的事件列，且 ，那么由 Borel-Cantelli 引理知道

这等价于

即

练习

Show

implies

证明

记 ，令

那么由 和上一题结论知道

从而

练习

Check by direct computation that the in Example 4.3.7 is a martingale. Show that if we drop the condition and set when , then .

证明

对第一问，只要证明 ，也即

由于 可以由有限个元素生成，无妨设 . 那么

从而得证。

对第二问，仍然考虑上式。 处等号应改成 ，因为等式右侧只包含所有 的区间对应的项。

练习

Apply Theorem 4.3.5 to Example 4.3.7 to get a "probabilistic" proof of the Radon-Nikodym theorem. To be precise, suppose is countably generated (i.e., there is a sequence of sets so that ) and show that if and are -finite measures and , then there is a function so that . Before you object to this as circular reasoning (the Radon - Nikodym theorem was used to define conditional expectation!), observe that the conditional expectations that are needed for Example 4.3.7 have elementary definitions.

证明

由 -有限性，可以不妨设 是概率测度。令 分别为 在 上的限制。那么有 成立，再令 ，那么由定理 4.3.5 知道

由于 知道 对 的 Lebesgue 分解存在且奇异部分为 ，从而

从例 4.3.7 也可以得出同样的结论。

练习

1. Use Theorem 4.3.8 to find a necessary and sufficient condition for .
2. Suppose that . Show that in this case the condition is simply .

证明

对于第一问，首先有

然后直接代入定理得到等价条件

第二问 TODO。

练习

Show that if and in the previous exercise then . This shows that the condition is not sufficient for in general.

证明

直接由下一问可得。

练习

Suppose . Show that is sufficient for in general.

证明

不妨设 来去除绝对值。由 知道

其中 表示敛散性相同。同理可以得到

那么两式相加直接得到

练习

Show that if then it is and hence

证明

令 ，那么

那么 . 之后是容易证明的。

练习

Let be a branching process with offspring distribution , defined in part d of Section 4.3, and let . Suppose has . Show that is a martingale and use this to conclude .

证明

先证鞅性，有